Question

a= 3+3 la puterea a 2+3 la puterea a 3+......+3 la puterea 48 divizibil cu 13

Answer 1

A=X^1+X^2+X^3+...+X^P
cum se arata formula:
inmultesti(atat in dreapta cat si in stanga cu baza(in cazul de fata baza este X) )

deci:
A*X=(X^1 +X^2+...+X^P)*X =>
=>   A*X=X^2+.X^3+...+X^P+X^(P+1)               (1)
dar  A    =X^1+X^2+X^3+...+X^P                       (2)
scadem din prima a doua si obtinem:
=================================
 A*X -A=[X^2+.X^3+...+X^P+X^(P+1) ]-[X^1+X^2+X^3+...+X^P ]
<=>        observi ca in dreapta se reduc termenii si ramane:
A*(X-1)= X^(P+1)-X^1 (acum impartim prin (X-1) )=>
A= [X^(P+1)-X ]/ (X-1)
in cazul tau X=3, P=48

deci in cazul tau A=(3^49-3)/2
trebuie sa arati ca 3^49-3/ 2 divizibil cu 13
cum 3^49 e nr impar iar 3 nr impar si (diferenta a 2 numere impare e un numar par) => ca trebuie sa arati (3^49-3) divizibil cu 13
adica 3*(3^48-1) divizibil cu 13 (cum (13,3)=1 , adica sunt prime intre ele) putem elimina 3-ul si ne ramane de aratat ca (3^48-1 ) divizibil cu 13
3^48 il scriem ca (3^3)^16 si deci avem de aratat ca
(27^16-1) divizibil cu 13<=>
27 il scriem ca 13*2+1
<=>[(13*2+1)^16 -1] divizibil cu 13 <=>
<=>[(M13+1)^16-1 ] divizibil cu 13 <=>
<=>(M13+1-1) divizibil cu 13 <=>M13 divizibil cu 13

am notat:
x^p =x la puterea p
MY=Multiplu de Y
/ = linie de fractie
X^P -> X = baza
       -> P  = exponentul
=>   de unde rezulta/rezulta
<=>    daca si numai daca