Question

A 5 si A6 poza sus va rogggg

Answer 1

A5.

$(m-1)x^2+mx+2m-1=0\ ,\ m\neq1$

a)

Pentru ecuatia de gradul al II-lea relatiile lui Viete sunt:

[tex]S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ P=x_1x_2=\frac{c}{a}[/tex]

In cazul nostru:

[tex]S=-\frac{m}{m-1}\\ P=\frac{2m-1}{m-1}[/tex]

b)

Se poate observa ca la suma si produs avem acelasi numitor, deci le-am putea aduna sau scadea:

$S+P=\frac{-m}{m-1}+\frac{2m-1}{m-1}=\frac{m-1}{m-1}=1$

Se observa ca relatia este independenta de m.

$x_1+x_2+x_1x_2=1$

c)

x₁ si x₂ sunt numere intregi ==> S = x₁ + x₂ este numar intreg

S = -m / (m - 1)  ==>  -m / (m - 1) este numar intreg

[tex]\frac{-m}{m-1}\in Z\rightarrow m-1 | -m \ \ \ \ (1)\\\\ m-1 | m-1\ \ \ \ (2)\\\\ \text{Adunam relatiile (1) si (2), conform proprietatilor diviibilitatii:}\\ m-1 | (-m) + (m-1)\rightarrow m-1 | -1\\\\ D_{-1}=\{-1,1\}\rightarrow m\in m-1 \in \{-1,1\} \rightarrow m\in\{0,2\}\\[/tex]

Putem verifica daca pentru cele doua solutii ale lui m, radacinile sunt intregi:

[tex]m=0\rightarrow -x^2-1=0\rightarrow x^2+1=0 \\ \text{Nu exista solutii in R pentru aceasta ecuatie}\\\\ m=2\rightarrow x^2 + 2x+3=0\\ \text{Nu exista solutii in R nici pentru aceasta ecuatie}[/tex]

Nu exista m pentru care ecuatia are solutii intregi.

A6.

$(m-2)x^2+(2m+1)x+m=0$

a)

Cazul I: m ≠ 2:

[tex]\Delta=b^2-4ac=(2m+1)^2-4\cdot(m-2)\cdot m=\\=4m^2+4m+1-4m^2+8m= 12m+1[/tex]

Ecuatia are solutii reale  ==>  Δ ≥ 0

$12m+1\geq0\rightarrow \boxed{m\geq-\frac{1}{12}}$

Cazul ||: m = 2:

Ecuatia va deveni:

$5x+2=0 \rightarrow x = -\frac{2}{5} \in R$

Asadar, valorile lui m pentru care ecuatia are solutii reale sunt:

$m\in(-\frac{1}{12},\infty)$

b)

[tex]x_1^2+x_2^2=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=S^2-2P\\ S^2-2P=1\\\\ S=-\frac{b}{a}=\frac{-2m-1}{m-2}\\ P=\frac{c}{a}=\frac{m}{m-2}\\[/tex]

[tex]S^2-2P=(\frac{-2m-1}{m-2})^2-2\cdot\frac{m}{m-2}=\frac{4m^2+4m+1}{(m-2)^2}-\frac{2m(m-2)}{(m-2)^2}=\\\\ =\frac{4m^2+4m+1-2m^2+4m}{(m-2)^2}=\boxed{\frac{2m^2+8m+1}{(m-2)^2}=1}\\\\\\ 2m^2+8m+1=(m-2)^2\\\\ 2m^2+8m+1=m^2-4m+4\\\\ m^2+12m-3=0\\ \Delta=144+12=156=2^2\cdot39\\\\ m_{1,2}=\frac{-12\pm2\sqrt{39}}{2}=\boxed{-6\pm\sqrt{39}}[/tex]

Daca ni s-ar impune ca x₁ si x₂ sa fie reale, atunci trebuie sa intersectam solutiile lui m cu ceea ce am aflat la a, si vom observa ca -6 - √39 nu se afla in interval, asadar, singura solutie ramasa ar fi:

$m=-6+\sqrt{39}$