Question

a=7+9+11+...+2015. Aratati ca a este divizibil cu 3.

Answer 1

Numarul de termeni (2015-7):2+1=1005
$A=\frac{(7+2015)\cdot 1005}{2}=\frac{2022\cdot1005}{2}=1011\cdot1005=1016055$

Answer 2

A = 7 + (7+1*2) + (7+2*2) + ... + (7+1004*2) =    
                                                             (suma are 1004+1=1005 termeni ! )
   = 7 * 1005  +  (1*2+2*2+3*2+...+1004*2) =
                                                             ( dam factor comun pe 2 din ... )
   =  7*1005   +  2(1+2+3+...+1004) =      
                                                           ( aplicam formula pt. suma lui Gauss !)
   =  7*1005   +  2 * (1004*1005)/2  =       ( simplificam cu 2 ... )
   =  1005 * ( 7 + 1004 ) =1005*1011 = 1016055 

 R:                                   $106055\,\vdots\,3\;\;\;pentru\;ca:\;1+0+1+6+0+5+5=18\vdots3$