Question

a = 7 + 97 + 997 + ..... + 999.......... 97.
Nota ! Intre nr. 999 si 97 sunt 2012 cifre.
Va rog, nu doresc rezolvarea, ci doar explicațiile indetaliate !
Multumesc !

Answer 1

[tex]A=7+97+997+_{\dots}+\underbrace{99_{\dots}9}}7\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~de\ 2012\ ori\\ Descompunem\ fiecare\ numar\ in\ parte:\\ A=7+90+7+990+7+_{\dots}+\underbrace{99_{\dots} 9}0+7\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ de\ 2012\ ori\\ Mi\ se\ pare\ evident\ ca\ 7\ apare\ de\ 2013\ ori\ deci\ vom\ avea:\\ A=7\cdot 2013+(90+990+_{\dots}+99_{\dots}90)\\ A=7\cdot 2013+10(9+99+999+_{\dots}+99_{\dots}9)\\ Facem\ un\ artificiu\ de\ calcul:\\ A=14091+10(10-1+10^2-1+10^3-1+_{\dots}+10^{2013}-1})\\ [/tex]
[tex]"-1"\ apare\ de\ 2013\ ori:\\ A=14091+10(10+10^2+10^3+_{\dots}+10^{2013}-2013})\\ Rezolv\breve{a}m\ suma\ cu\ puterile\ lui\ 10\ separat:\\ S=10+10^2+10^3+_{\dots}+10^{2013}|\cdot10\\ 10S=10^2+10^3+_{\dots}+10^{2014}\\ ------------\\ 10S-S=10^{2014}-10\\ 9S=10^{2014}-10\Rightarrow S=\frac{10^{2014}-10}{9}\\ Revenind: A=14091-20130+10\cdot \frac{10^{2014}-10}{9}\\ De\ aici\ sunt\ numai\ calcule\ simple:\\ A=\frac{10^{2015}-100}{9}-6039\\ A=\frac{10^{2015}-100-54351}{9}\\ A=\frac{10^{2015}-54451}{9}\\ [/tex]