Question

a)Aflati cate nr de forma 4abcd sunt multipli a lui 23.
b)Aflati cate nr de forma 5abcde se divid cu 491.
c)Cate nr de trei cifre nu se divid cu 17?
d)Cate nr naturale de patru cifre nu se divid cu 41?
e)Determinati nr numerelor naturale de trei  cifre care sunt divizibile cu 2 si cu 3.

Answer 1

a) $\frac{}{4abcd}$ =23*n
gasim cel mai mic: 40000:23=1739 rest 3⇒ n>1739
gasim cel mai mare:49999:23=2173 rest 20, ⇒n≤2173
⇒n∈{1740,1741,...2173}
Cati termeni sunt?
(2173-1740)+1=433+1=434 nr de forma $\frac{}{4abcd}$ sunt multipli a lui 23.

b)$\frac{}{5abcde}$ =491*n
cel mai mic: 500000:491=1018 rest 162 =>n>1018
cel mai mare:599999:491=1221 rest 488 => n≤1221
deci n∈{1019,1020,1021.....1221}
Cati termeni sunt?
(1221-1019)+1=  203 de numere de tipul  $\frac{}{5abcde}$ se divid cu 491.

c)$\frac{}{abc}$=17*n
gasim cel mai mic:100:17=4 rest 15, ⇒n>4
gasim cel mai mare:999:17=58 rest 13⇒n≤58
n∈{5,6,7,...,58}
Cati termeni sunt?
(58-5)+1=54  nr de trei cifre nu se divid cu 17.

d)$\frac{}{abcd}$=41*n
gasim cel mai mic:1000:41=24 rest 16 ⇒n>24
gasim cel mai mare:9999:41= 243 rest 36⇒ n≤243
n∈{25,26,27,...,243}
Cate sunt?
(243-25)+1=219  nr naturale de patru cifre nu se divid cu 41.


e)$\frac{}{abc}$=2*3*n
putem rezolva prin 2 metode:

1)gasim cel mai mic: 100:6=16 rest 4, n>16
gasim cel mai mare:999:6=166 rest 3
n∈{17,18,...166} si numaram ca sunt: (166-17)+1=150 nr numerelor naturale de trei  cifre care sunt divizibile cu 2 si cu 3.

2)$\frac{}{abc}$
pt a fi divizibil cu 2: c poate lua 5 valori , si anume c∈{0,2,4,6,8}
pt a fi divizibil cu 3, Suma a+b+c trebuie sa fie divizibila cu 3
a poate lua 9 valori , si anume a∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Analizam variantele:
De exemplu pentru c=0,⇒avem:
>>pentru a=1,2,4,5,7 sau 8,  b poate lua 3 valori , deci 6x3 valori, adica
-pt a=1,4 sau 7, ⇒b=2,5,8
-pt a=2,5,8 ⇒b=1,4,7
>>pentru a = 3,6,sau 9, b poate lua 4 valori , adica b=0,3,6,9 adica 3x 4 valori
 
DECI:
c poate lua 5 valori
a si be pot lua 6x3 valori +3x4 valori, si avem
5*(6*3+3*4)=5*30=150 nr numerelor naturale de trei  cifre care sunt divizibile cu 2 si cu 3.