Question

a) Aratati ca 1 supra n -1 supra n+1=1 supra n*(n+1), pentru orice nr. care apartine numerelor naturale nenule
b)Calculati : 1 supra 1*2+1 supra 2*3+1 supra 3*4+...+ 1 supra 2013*2014
c) Aratati ca 1 supra n - 1 supra n+m=m supra n*(n+m) , pentru orice n , m care apartin nr. naturale nenule 
d)Aratati ca : 3 supra 2*5 + 3 supra 5*8+ 3 supra 8*11+...+ 3 supra 2012 *2015=2013supra 4030
e) Calculati : 4 supra 1*5+4 supra 5*9+4 supra 9*13+...+4 supra 2013 *2017 

Answer 1

a)  1/n - 1/(n+1) = (n+1)/n(n+1) - n/n(n+1) = (n+1-n) /n(n+1) = 1 /n(n+1)

b) 1/1 ×2 + 1 /2×3 + 1/ 3×4 +........... +1 /2013×2014 =  1/1 - 1/2 + 1/2 -1/3 +1/3 -1/4 +1/4 -1/5 +............+ 1/2013 - 1/2014 = 1 - 1/2014 =  2013 /2014

c)   1/n - 1/(n+m) = (n+m)/(n+m).n - n/ n(n+m) = (n+m -n) /n(n+m) = m/n(n+m)

d)  3/2.5 = 1/2 - 1/5

3/5.8 = 1/5 - 1/8

3 /8.11= 1/8 - 1/11

..............................

3/2012.2015 = 1/2012 - 1/2015 ⇒   S= 1/2 - 1 2015 = 2013/2015

e)  4/1.5 = 1/1 - 1/5

4/5.9 = 1/5 - 1/9

4/9.13 = 1/9 - 1/13

................................

4 /2013.2017 = 1/2013 - 1/2017 ⇒   S = 1- 1/2017 = 2016/2017