Question

a) Arătati că numărul 2^1009 + 4^2019 nu este pătrat perfect.
b) Există n număr natural nenul astfel încât 2^n+ 4^2019să fie pătrat
perfect?

Answer 1

Răspuns:

a) nu este patrat perfect

b) exista cel putin un n, n=4041

Explicație pas cu pas:

ultima cifra ar fi 2+4=6 deci ar putea fi p.p. , trebuie calculat altfel

a)2^1009+2^4038=2^1009 (1+2^3027)

1+2^3027 impar

2^1009, putere impara a unui numar par

deci chiar daca 2^3017 +1 ar fi p.p , 2^1009 nu e p.p deci la extragerea radacinii patrate ar ramane un √2

b) reformultam: exista n număr natural nenul astfel încât 2^n+ 2^4038 să fie pătrat perfect?

2^n  ar trebui sa apartina 3*2^4038, nu convine

8*2^4038  convine deci 2^n=2³*2^4038=2^4041

verificare

2^4041+2^4038= 2^4038(8+1) =9*2^4038= 3² *(2^2019)²= (3*2^2019)²