Question

a)Aratati ca numarul 3^n+2×3^n+1-3^n×5^n+2+3^n+1×5^n se divide cu 23,oricare ar fi n∈N.
b)Aratati ca numarul 3+3^2+3^3+3^4+......+3^2014 este divizibil cu 4.

Answer 1

b. 3+ 3² + 3³+ 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + ... + 3²⁰¹³ + 3²⁰¹⁴ : 4

 3¹+ 3¹⁺¹ + 3³⁺⁰+ 3³⁺¹ + 3⁵⁺⁰ + 3⁵⁺¹ + ... + 3²⁰¹³ + 3²⁰¹³⁺¹

 3¹+ 3¹ 3¹ + 3³ 3⁰+ 3³ 3¹ + 3⁵ 3⁰ + 3⁵ 3¹ + ... + 3²⁰¹³ + 3²⁰¹ 3¹
 
3 (  1+ 3) + 3³( 1+ 3) + 3⁵(1+ 3) + ... + 3²⁰¹³( 1+ 3)=

3 4 + 3³ 4 + 3⁵ 4 + ... + 3²⁰¹³ 4=

4( 3+ 3³ + 3⁵ + ... + 3²⁰¹³)= 
 
dacă un factor este divizibil cu  4  4: 4 ,
atunci tot produsul este divizibil cu 4 4( 3+ 3³ + 3⁵ + ... + 3²⁰¹³) : 4


a. OBSERVAŢIE!  ,,n" = se înlocuieşte  cu semnul de la grade ,,°"                                          ∉ ,,n" la exponent.

3°⁺²·5°⁺¹ - 3°· 5°⁺² +3°⁺¹ ·5° : 23

3°·3²·5°·5¹ - 3°· 5°· 5² +3°·3¹ ·5° : 23

3°·5°(3²·5¹ -  5² +3¹) : 23

15°( 9·5- 25+ 3): 23

15°( 45- 25+ 3) : 23

15°( 20+ 3) : 23

15°·23 : 23

dacă un factor este divizibil cu 23       23: 23,
atunci tot nr. este divizibil cu 23          15°( 20+ 3) : 23