Question

a)Aratati ca numarul 3^n+2 · 5^n+1 - 3^n · 5^n+2 + 3^n+1 · 5^n se divide cu 23,oarecare ar fi n∈ N.
b)Aratati ca numarul 3 + 3² + 3³ + 3⁴ +.....+ 3²⁰¹⁴ este divizibil cu 4.

Answer 1

a)  $3^{n+2}* 5^{n+1} -3^n* 5^{n+2} + 3^{n+1}*5^n =$

$=3^n*5^n(9*5-25+3)=23*3^n*5^n$ care se divide la 23 oricare ar fi n din N


b)  $3(1+3)+3^3(1+3)+3^5(1+3)+....+3^{2011}(1+3)+3^{2013}(1+3)=$

$(1+3)(3+3^3+3^5+3^7+....+3^{2011}+3^{2013})=4*(3+3^3+...+3^{2013})$

care este divizibul cu 4