Question

a) Aratati ca numarul A=1+2^1+2^2+...+2^62 este divizibil cu 7.
Suma data are 63 de termeni,care pot fi grupati cate 3.
Avem 1+2^1+2^2=7
2^3+2^4+2^5=2^3*7,...,2^60+2^61+2^62=2^60*7
In concluzie,A=7*(1+2^3+...+2^60)divizibil cu 7
b)Aratati ca numarul B=1+3^1+3^2+...+3^61 este divizibil cu 4
c)Aratati ca numarul C=1+2^1+2^2+...+2^71 este divizibil cu 5
(^)-la puterea
(*)-inmultire

Answer 1

Rezolvarile la B si C in atasament. Un numar e divizibil cu n daca se poate scrie ca n* ceva.
Ideea este sa grupezi termenii sumei convenabil si sa dai factor comun astfel incat in paranteze sa obtii acel numar cu care vrei sa arati ca este divizibila suma. Apoi dai factor comun numarul obtinut in paranteza si gata.

Answer 2

   
[tex]b)\\ B=1+3^1+3^2+3^4+ \cdots +3^{60}+3^{61} ~\vdots~ 4\\ \text{Observam ca suma primilor 2 termeni: } 1+3 = 4~\vdots~ 4 \\ n = 62 \text{ de termeni si } 62 ~\vdots ~2\\ \text{Vom grupa sirul in grupe de cate 2 termeni.}\\ B=(1+3^1)+(3^2+3^4)+ \cdots +(3^{60}+3^{61})\\ \text{Dam factor comun.}\\ B=1(1+3)+3^2(1+3)+ \cdots +3^{60}(1+3})=\\=(1+3)(1+3^2+ \cdots +3^{60}) = \boxed{4(1+3^2+ \cdots +3^{60})~\vdots~4}[/tex]


[tex]c)\\ C=1+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7...+2^{68}+2^{69}+2^{70}+2^{71} ~\vdots~ 5\\ \text{Observam ca suma primilor 4 termeni: } 1+2^1+2^2+2^3 = 15~\vdots~ 5 \\ n = 72 \text{ de termeni si } 72 ~\vdots ~4\\ \text{Vom grupa sirul in grupe de cate 4 termeni.}\\ (1+2^1+2^2+2^3)+(2^4+2^5+2^6+2^7)+...+(2^{68}+2^{69}+2^{70}+2^{71})\\ \text{Dam factor comun.}\\ 1(1+2+2^2+2^3)+2^4(1+2+2^2+2^3)+ \cdots +2^{68}(1+2+2^2+2^3)=\\ =(1+2+2^2+2^3)(1+2^4+ \cdots +2^{68}) = \boxed{15(1+2^4+ \cdots +2^{68})~\vdots~5} [/tex]