Question

A) Aratati ca numarul A = 1 + 7 + 7la2 + ..... 7 la 2011 Se dividie cu 4

B) Aratati ca numarul B= 3 + 3la2 + 3la3 + .... + 3la 27 Se dividie cu 13

Answer 1

$A=1+7+ 7^{2} + 7^{3} +...+ 7^{2010} + 7^{2011}$
In numarul A sunt 2011+1=2012 termeni=>termenii se pot grupa doi cate doi
$1+7=8 \\ 7^{2} + 7^{3} = 7^{2}* (1+7)= 7^{2} *8 \\ 7^{2010} = 7^{2011} = 7^{2010} *(1+7)= 7^{2010} *8 \\ A=8+ 7^{2} *8+...+ 7^{2010} *8 \\ A=8*(1+ 7^{2} +...+ 7^{2010} )$=>A se divide cu 8
Dar 8 se divide cu 4=>A se divide cu 4
$B=3+ 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5} + 3^{6} +...+ 3^{25} + 3^{26} + 3^{27}$
In numarul B sunt 27 de termeni=>termenii se pot grupa trei cate trei
$3+ 3^{2} + 3^{3} =3*(1+3+ 3^{2} )=3*(4+9)=3*13 \\ 3^{4} + 3^{5} + 3^{6} = 3^{4} *(1+3+ 3^{2} )= 3^{4} *(4+9)= 3^{4} *13 \\ 3^{25} + 3^{26} + 3^{27} = 3^{25} *(1+3+ 3^{2} )= 3^{25} *(4+9)= 3^{25} *13 \\ B=3*13+ 3^{4} *13+...+ 3^{25} *13 \\ B=13*(3+ 3^{4} +...+ 3^{25} )$=>B se divide cu 13