Question

a) Aratati ca numarul A=2^30 + 2^31 + 2^32 este divizibil cu 7.                                                  b)Aratati ca numarul B=3^30 + 3^32 +3^34 este divizibil cu 13.                                                 2)a)Aratati ca numarul B=1 + 3^1 +3^2 +...+3^61 este divizibil cu 4.                                              b) Aratati ca numarul C=1+2^1+2^2+...+2^71 este divizibil cu 5.  

Answer 1

1.   a)  A =  2^30· (1 +2 + 4 ) = 7·2^30  divizibil cu 7

      b)  B= 3^30 ·(1 + 9 +  81) = 91·3^30  = 7·13·3^30 divizibil cu 13

2.   a)  B = (1 + 3) + 3²·(1 + 3) +.............+ 3^60·(1 + 3) = 4( 1 + 3² +..........+3^60) divizibil cu 4

      b) C= 1 + 2 + 2² + 2³ +.................2^71

          2C = 2 + 2² + 2³ +.....................2^72 ⇒ 2C - C = C = 2^72 -1

Ucifra (2^72) = 6 ⇒ Uc(C) =5 ⇒C divizibil cu 5

2^1 = 2   2² = 4      2³ = 8     2^4 =16  ⇒ Uc(2^4k ) = 6

Answer 2

a) 2³⁰ +2³¹ + 2³²=  2³⁰ (1+2+2²)=  2³⁰ * 7  : 7 (trebuie la fiecare cate 3 puncte in loc de 2)

b)3³⁰ +3³² +3³⁴= 3³⁰(1+3² +3⁴) = 3³⁰ * 91 = 3³⁰ * 7 *13  : 13

c)1+3+3²+3³+.....+3⁶⁰ +3⁶¹= (1+3)+3²(1+3)+....+3⁶⁰(1+3)=

=4+3² *4 +...+3⁶⁰ *4=  4 (1+3²+...+3⁶⁰) :4 

d)(1+2+2²+2³)+(2⁴+2⁵+2⁶+2⁷)+......+(2⁶⁸+2⁶⁹+2⁷⁰ +2⁷¹)=

=15 + 2⁴(1+2+2²+2³)+....+2⁶⁸(1+2+2²+2³)=

=15+2⁴ *15 +.....+2⁶⁸ *15=

= 3* 5+ 2⁴ *3 *5+....+2⁶⁸ *3 *5=

= 5(3+2⁴*3+.....+2⁶⁸*3) :5