Question

a) Arătați că numărul B=5 la puterea 2013 - 3 la puterea 2013 este divizibil cu 2 (trebuie cu ultima cifră, dar nu ştiu cum :( )
b) Arătați că numărul C=6 la puterea 2013 - 3 la puterea 2012 este divizibil cu 5 (tot cu ultima cifră...)
c) Determinați numerele prime a şi b ştiind că 3a+16b=54. Dacă 16b şi 54 sunt numere pare, deci ............. Asta îmi spune în carte.
d) Arătați că numărul B = 5xy+x3y+xy7 (cu bară deasupra) este divizibil cu 3, oricare ar fi cifrele x şi y, x NU este egal cu 0.
AJUTAȚI-MĂ VĂ ROOG!!

Answer 1

    
[tex]\text{Voi folosi doar litere mici: a, b, c, ...} \\ Notatie: \;\;\;\; U(x) \;\;\;este \;numele \;functiei \;care \;ne \;da \;ultima \;cifra. \\ \\ a) \\ U(5^{2013}-3^{2013}) = U(5^{2013})-U(3^{2013}) \\ U(5^{2013})=5 \;(deoarece \; 5\;ridicat\;la\;orice\;putere,\;ultima \;cifra\;va\;fi\;5.) \\ U(3^{2013})=U(3^{2012+1})=U(3^{2012}*3)= U(3^{4*503}*3)= \\ =U((3^4)^{503}*3)=U(81^{503}*3)=U(81^{503})*3 =1*3=3 \\ U(5^{2013})-U(3^{2013}) = 5 - 3 = 2 =\ \textgreater \ b\;\vdots\;2[/tex]


$b) \\ U(6^{2013}-3^{2012})= U(6^{2013})-U(3^{2012})= U(6^{2013})-U(3^{4*503})= \\ = U(6^{2013})-U((3^4)^{503})=U(6^{2013})-U(81^{503})=6-1=5 \\ =\ \textgreater \ c\;\vdots\;5$


$c) \\ 3a+16b=54 \\ \text{16b si 54 sunt pare. } =\ \textgreater \ \;\; 3a \;trebuie\;sa\;fie\;par. \\ 3 \;este\;impar\;iar\;a \;este\;numar \;prim \\ =\ \textgreater \ \;\;a \;este=; numar\;par. \\ \text{Singurul numar prim par este 2.} \\ =\ \textgreater \ \;\;a=\boxed{2} \\ 3*2+16b=54 \\ 16b=54-3*2 \\ 16b=48 \\ b= \frac{48}{16}=\boxed{3}$


$d) \\ b = \overline{5xy}+\overline{x3y}+\overline{xy7} \\ \text{Folosim urmatoarea regula:} \\ \text{Suma a n numere este divizibila cu 3 daca suma cifrelor tuturor } \\ \text{celor n numere este divizibila cu 3} \\ \\ \text{Facem suma cifrelor celor 3 numere sa vedem daca e divizibila cu 3:} \\ (5+x+y)+(x+3+y)+(x+y+7)= \\ x+x+x+y+y+y+5+3+7 = \\ 3x+3y+15 = 3(x+y+5)\;\vdots\;3\;\;\;\;\;\;\;(oricare \;ar \;fi \;cifrele\; x\;si\;y)\\ =\ \textgreater \ \;\;b\;\vdots\;3$