Question

a). Aratati ca numarul natural 9^1996-7^1992 este divizibil cu 10.
b). Aratati ca 2005^2005+ 2006^2006-1 este divizibil cu 10.
c). Demonstrati ca numarul 5^n+3 • 2^n - 125 este divizibil cu 5 si cu 9.

Answer 1

A). Aratati ca numarul natural 9^1996-7^1992 este divizibil cu 10.
9^1996 se termina  ca  9⁴ adica in 1
7^1992 se termina ca  7⁴ adica in 1
 
9^1996-7^1992 se termina in 1-1=0 deci este divizibil cu 10.

b). Aratati ca 2005^2005+ 2006^2006-1 este divizibil cu 10.
2005^2005  se termina in 5  (5 la orice putere se termina  in 5)
2006^2006  se termina in 6  (6 la orice putere se termina  in 6)

2005^2005+ 2006^2006-1  se termina in 5+6-1 =10 deci este divizibil cu 10.


 c). Demonstrati ca numarul 5^n+3 • 2^n - 125 este divizibil cu 5 si cu 9.
5^(n +3) ·2^n - 125 =
 5^n ·2^n ·5³ - 5³ = 5³ ·(10^n - 1) =
= 125· 99......(n cifre de9)....9 deci divizibil cu 5  si divizibil cu 9