Question

a). aratati ca, oricare ar fi nr n apartine Z, numarul M=n^3-n se divide cu 6
b). aratati ca, oricare ar fi nr n apartine Z, numarul N=n^5-n se dividecu 30

Answer 1

a) M=n(n²-1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)* n* (n+1)
M este produs de 3 numere consecutive, dintre care cel putin unul se divide cu 2 
oricare ar fi 3 numere naturale consecutive, unul din ele se divide cu 3
astfel M este divizibil cu 2 si cu 3 ⇒ este divizibil cu 2*3=6 

b) N=n(n⁴-1) = n (n²-1) (n²+1) =n(n-1)(n+1)(n²+1)= M * (n²+1) este divizibil cu 6
 N = M* (n²-4+5) = M * [(n-2)(n+2) +5] = M*(n-2) (n+2) + M*5
 N= (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + n(n-1)(n+1) *5

N este divizibil cu 5 pentru ca:
 (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) este produsul a 5 numere consecutive, din care unul este sigur divizibil cu 5
si n(n-1)(n+1) *5 este divizibil cu 5

Daca N este divizil si cu 5 si cu 6 rezulta ca e divizibil cu 5*6=30