Question

a) Arătați că oricare ar fi numerele naturale pentru care 2x-3y=4, numărul (x-2)(y+2) este divizibil cu 6.
b) Determinați numerele naturale x şi y ştiind că x^2 (x pătrat) • (y+3)=864.
c) Dacă 5a (cu bară) + 7b (cu bară) este divizibil cu 2, atunci determinați numărul numerelor de forma ab (cu bară).
d) Determinați numărul frațiilor de forma 3x4 (cu bară) supra a24 (cu bară) care se simplifică cu 12.

Answer 1

a)  2x - 3y = 4
ptr. x = (4 + 3y)/2 = 2 + 3y/2 ⇒  ptr. ca x∈N ⇒ y = nr. par ⇒ (x-2)(y+2) = 3y/2 ·(y+2)
deoarece  y +2 nr. par ⇒3(y+2)·y/2 = divizibil cu 6
b) x² ·(y+3) = 864
864 = 2^5 ·3³ =144· 6·= 12² ·6  ⇒ x = 12  y + 3 = 6      y = 3
864 = 36·24 = 6² ·24    ⇒ x = 6  y+3 = 24  y = 21
864 = 16·54 = 4² ·54  ⇒ x = 4    y+3 = 54  y = 51
864 = 9·96 = 3² ·96  ⇒  x = 3    y+3 = 96  y = 93
864 = 4·216 = ·2² ·216 ⇒ x = 2  y + 3 = 216    y = 213
c) 5a + 7b  = nr. par  ⇒ a = nr. par ⇒ a ∈{2,4,6,8}  b∈{0,2,4,6,8} ⇒ exista 4·5 = 20  numere
d) 3x4  divizibil cu 12  ( divizibil cu 3 si cu 4) ⇒ x ∈ { 2, 8} 
a24  divizibil cu 12  ⇒ a ∈ { 3, 6, 9} ⇒ 2·3 = 6 fractii