Question

a} aratati ca ultima cifra a produsului x[x+1] poate fi doar 0 2 sau 6 pentru orice numar natural x

b] demonstrati ca nu exista numere naturale x astfel incat 5x+1024=abcd7

c]demonstrati ca nu exista numere naturale x astfel incat 7x [la puterea a doua] + 7x + 5y =2013

Answer 1

a) Mulțimea perechilor formate cu ultimele cifre ale numerelor naturale

 consecutive x și x+1  este :

P = {(0,1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8),  (8, 9), (9, 0)}

Examinând perechile scrise mai sus, rezultă că mulțimea formată din

 ultima cifră a produsului x(x+1) este:

M = {0, 2, 6 }

b) 5x se termină cu cifra 0 sau cifra 5, deci suma

5x + 1024 se termină cu cifra 4 sau 9

Rezultă că suma  5x + 1024 nu poate fi egală cu un număr care

se termină în cifra 7.

c) 7x² + 7x + 5y = 7x(x+1) +5y

Ultima cifră a produsului 7x(x+1) poate fi 0, 2 sau 4.

Ultima cifră a produsului 5y este 0 sau 5.

Deci, ultima cifră a sumei 7x² + 7x + 5y nu poate fi egală cu 3.