Question

A) arătați că ultima cifra a produsului x(x+1) poate fi doar 0,2 sau 6,pentru orice număr natural x

B) Demonstrați ca nu exista numărul natural x,astfel încât 5x+1024 = abcd7 (bara de asupra)

C) Demonstrați că nu există numere naturale x,astfel încât 7x^2 + 7x + 5y = 2013

dau 10 puncte (stiu ca nu e mult dar nu am mai mult) rapid ❤ pls dau si coronița ❤

Answer 1

a. Consideram urmatoarele variante
i. daca n=2k unde k∈N ⇒u.c(n)∈{0;2;4;6;8}
Asadar u.c(n(n+1))∈{0;6;2}
ii. daca n=2k+1 unde k∈N ⇒u.c(n)∈{1;3;5;7;9}
Asadar u.c(n(n+1)∈{2;0;6}
In concluzie ,ultima cifra a produsului poate fi doar 0;2 sau 6 unde n∈N.
b. 5x+1024=abcd7 (cu bara deasupra)
50+x+1024=abcd7 ⇔
1074+x=abcd7 dar deoarece x∈N astfel incat c=cifra ⇒1074≤1074+x≤1083=abcd7 deoarece 8≠7 iar 1083 este un numar de 4 cifre ,evident va fi mai mic decat abcd7.
Asadar ,nu exista x∈N astfel incat 5x+1024=abcd7.
c. 7x²+7x+5y=2013 ⇔7x(x+1)+5y=2013 dar deoarece u.c(5y)∈{0;5} ⇒
u.c(7x(x+1))∈{3;8} ceea ce este imposibil deoarece u.c(7x(x+1))∈{0;4}⇒concluzia;