Question

a+b=2; a,b∈R atunci sa se arate ca $a^{4} + b^{4}$≥2

Answer 1

rezolvare pt ab>0

(a+b)²=4=a²+b²+2ab deci
 a²+b²=4-2ab  (1)

cum a²+b²>0, ab<2
ridicand la patrat relatia (1) , obtinem

a^4+b^4=(a²+b²)²-2a²b²= (4-2ab)²-2a²b²=16-16ab-+4a²b2-2a²b²=
2a²b²-16ab +16
notand ab=x, avem expresia
2x²-16x+16  cu x=ab<2
facand extensia la x∈R , avem functia de gradul 2 f(x):R->[f(4),∞) cu minim
la x= - (-16/2*2)=4
f(4)=2*16-16*4+16=-16
 f(x) descrescatoare pe (-∞, 4] si crescatoare pe [4, ∞)  conform monotoniei  functiei de gradul 2 cu coeficientul lui x², pozitiv

adica daca x creste, f(x) scade
si daca x scade, f(x) creste
dar x=ab, x<2
deci vom face o restrictie a functiei la (0, 2), unde ab>0 si ab<2

de fapt pt a+b=2, (a+b)/2=media  aritmeica=1
⇒mg = √ab≤1 de aceea am avut nevoie ca ab>0
deci x=ab= (√ab)²≤1
deci, functia fiind descrescatoare f(x)≥f(1)= 2*1²-16*1+16=2

f(x)≥f(1)=2 , cerinta