Question

a+b/2<=radical a²+b² supra 2
Am nevoie de ajutor!!

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Considerăm că afirmația e corectă

$\dfrac{a+b}{2}\leq \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}~|^2,~=>~(\dfrac{a+b}{2})^2\leq (\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}})^2~=>~\dfrac{(a+b)^2}{4}\leq \dfrac{a^2+b^2}{2}},~=>~\dfrac{(a+b)^2}{4}\leq \dfrac{2(a^2+b^2)}{4}},~=>~(a+b)^2\leq 2(a^2+b^2),~=>~a^2+2ab+b^2\leq 2a^2+2b^2,~=>~0\leq 2a^2+2b^2-a^2-b^2-2ab,~=>~0\leq a^2+b^2-2ab,~=>~0\leq (a-b)^2$

Adevărat, deci este adevărată și relația dată.

Answer 2

Pentru a demonstra o (in)egalitate, pornim de la unul dintre

membri și, prin transformări succesive, ajungem la celălalt membru

Sau, transformăm succesiv toată inegalitatea până ajungem la

o inegalitate evident adevărată.

$\it \dfrac{a+b}{2}\leq\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}} \Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\geq\sqrt{\Big(\dfrac{a+b}{2}\Big)^2} \Leftrightarrow \dfrac{a^2+b^2}{2}\geq\dfrac{a^2+b^2+2ab}{4}|_{\cdot4} \Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow 2a^2+2b^2\geq a^2+b^2+2ab \Leftrightarrow 2a^2+2b^2- a^2-b^2-2ab\geq0 \Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\geq0\Leftrightarrow(a-b)^2\geq0\ (A)$