Question

A,B,C,D puncte necoplanare astfel incat AB=AC.Perpendiculara din A pe bisectoarea unghiului ABD intersecteaza dreapta BD in E si bisectoarea in M , iar perpendiculara din A pe bisectoarea unghiului ACD intersecteaza dreapta CD in F si bisectoarea in N. a)Efectuati desenul corespunzator b)Stabiliti daca CF=BE C)Stabiliti pozitia dreptei MN fata de planul BCD. Ajutor

Answer 1

teorie:
1. daca intr-un triunghi bisectoarea este si inaltime, atunci triunghiul este isoscel, in care  laturile congruente pornesc din acelasi varf cu bisectoarea. (simplu de demonstrat)
2. daca o dreapta este paralela cu o dreapta continuta intr-un plan atunci dreapta este paralela cu planul. (vezi teormele de paralelism in spatiu) 
a)
D∉(ABC), vezi desenul.
b)
CN⊥AF si ∡ACN=∡FCN ⇒ triunghiul ACF este isoscel ⇒ AC=CF (1)
BM⊥AE si ∡ABM=∡EBM ⇒ triunghiul ABE este isoscel ⇒ AB=BE (2)
din ipoteza avem AB=AC ceea ce cu (1) si 2) rezulta BE=CF
c)
unim E cu F si observam ca in triunghiul AEF, MN este linie mijlocie deoarece uneste mijloacele laturilor AE si AF ⇒ MN║EF, EF∈(BCD) ⇒ MN║(BCD)