Question

a,b,c numere reale pozitive
demonstrati ca:
( ab + bc + ca ) * | 1 - ( 1 / abc ) | ≤ | ab - ( 1 / c ) | + | bc - ( 1 / a ) | + | ac - ( 1 /b) |

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

vom aplica proprietățile modulilor:

1) |a|=a, dacă a >0;    2) |a·b|=|a|·|b|;     3)  |a|+|b|≥|a+b|.

Vom porni cu partea dreaptă a inegalității...

$|ab-\frac{1}{c}|+|bc-\frac{1}{a}|+|ac-\frac{1}{b}|\geq |ab-\frac{1}{c}+bc-\frac{1}{a}+ac-\frac{1}{b}|=|\frac{abc-1}{c}+\frac{abc-1}{a}+\frac{abc-1}{b}|=|(abc-1)(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})|=|(abc-1)*\frac{ab+bc+ac}{abc}|=|(ab+bc+ac)*\frac{abc-1}{abc}|=|ab+bc+ac|*|\frac{abc-1}{abc}|=(ab+bc+ac)*|\frac{abc}{abc}-\frac{1}{abc}|=(ab+bc+ac)*|1-\frac{1}{abc}|.$

$Deci,~~~ |ab-\frac{1}{c}|+|ab-\frac{1}{c}|+|ab-\frac{1}{c}|\geq (ab+bc+ac)*|1-\frac{1}{abc}|,~~=>~(ab+bc+ac)*|1-\frac{1}{abc}|\leq |ab-\frac{1}{c}|+|ab-\frac{1}{c}|+|ab-\frac{1}{c}|$

p.s.  Am adăugat și imagine în cazul că nu se vede pe telefon... Succese!