Question

a) Calculați a² +a+1/a+1/a^2ştiind că a: radical din 2 pe 2 b) Detrminați numerele întregi a, b pentru care √√30-12√6 = a√√3+b√2​

Answer 1

Răspuns:

a) ; b) a = -2; b = 3

Explicație pas cu pas:

a)

$\frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{1}{\sqrt{2} }$

${a}^{2} + a + \frac{1}{a} + \frac{1}{ {a}^{2} } = \Big( \frac{1}{\sqrt{2}} \Big)^{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} + \frac{1}{\Big( \frac{1}{\sqrt{2}} \Big)^{2}} = \\ = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2} + 2 = \frac{1 + \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4}{2} = \bf \frac{5 + 3 \sqrt{2} }{2}$

b)

$\sqrt{30 - 12 \sqrt{6} } = a \sqrt{3} + b \sqrt{2}$

$\sqrt{18 + 12 - 12 \sqrt{6} } = a \sqrt{3} + b \sqrt{2}$

$\sqrt{ {(3 \sqrt{2} )}^{2} - 2 \cdot 6 \sqrt{6} + {(2 \sqrt{3} )}^{2} } = a \sqrt{3} + b \sqrt{2}$

$\sqrt{ {(3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3} )}^{2} } = a \sqrt{3} + b \sqrt{2}$

$|3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}| = a \sqrt{3} + b \sqrt{2}$

$3 \sqrt{2} \geqslant 2 \sqrt{3}$

$3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3} = a \sqrt{3} + b \sqrt{2} \\ - 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} = a \sqrt{3} + b \sqrt{2}$

$\implies \bf a = -2 \ ; \ b = 3$