Question

a) Dacă [a,b]=150 şi a•b=750, aflați a şi b.
b) Dacă [a,b]=72 şi a•b=864, aflați a şi b.
c) Determinați toate numerele naturale de forma 1x3y (cu bară) divizibile cu 6.
d) Găsiți toate numerele naturale de forma 2x5y (cu bară) divizibile cu 12.
e) Aflați toate numerele naturale de forma 4xy6 (cu bară) divizibile cu 36.

Answer 1

a)      a·b=(a,b)·[a,b]⇒ (a,b)=a·b/[a,b]=750/150=5
Din (a,b)=5⇒5 I a si 5 I b⇒a=5k,b=5·l, (k,l)=1.Inlocuind:
5k·5l=750 ⇒k·l=30⇒(k,l)∈{1,30);(30,1);(2,15);(15,2);(3,10);(10,3);(5,6);(6,5)}
(a,b)∈{(5,150);(150,5);(10,75);(75,10);(15,50);(50,15);25,30);(30,25)}
b)  6=2·3
Din 2 I 1x3y si 3 I1x3y , unde (2,3)=1 atunci 2·3 I 1x3y
Din 2 I 1x3y ⇒y∈{0.2,4,6,8}
      y=0 ,3 I1x30⇒3 I(1+x+3+0)⇒3 I(x+4) ⇒x∈{2,5,8}
Deci 1x3y∈{1230,1530,1830}
Analog se afla restul numerelor pentru fiecare valoare a lui y.

d) Se rezolva la fel cu mentiunea ca :12=3·4 , unde (3,4)=1.
e)Se rezolva la fel cu mentiunea ca :36=4·9 , unde (4,9)=1
 si tinem cont de criteriul de divizibilitate cu 4:
4 I 4xy6⇒4 I y6⇒y∈{1,3,5,7,9}