Question

a) Dacă ABCD este un trapez , iar M și N sunt mijloacele bazelor AB, respectiv CD , arată ca AD intersectat cu BC și cu MN ={P}

Answer 1

Fie AD∩MN={P}
DM||AN⇒(T.F.A.)⇒PD/PA=DM/AN=PM/PN (1)


Fie BC∩MN={P'}

MC||NB⇒(T.F.A.)⇒P'C/PB=MC/NB=DM/AN pt ca DM=MC si NB=AN
si P'C/PB=P'M/PN  (2)

Fie AD∩BC={P"}
DC|| AB⇒(T.F.A)⇒P"D/P"A=DC/AB=2DM/2AN=DM/AN=P"M/P"N (3)


deci punctele P, P' siP'' care ∈MN, asa fel incat M este intre N si P (P', P") ,  impart segmentul  in acelasi raport
cum exista un singur opunct inafar segmentului care il imparte in un raport dat****** inseamna ca
deci P≡P'≡P"  unde prin "≡" am inteles identic
deci AD∩BC∩MN={P}



*******
Extra
 fiind dat un segment orientat si un numar dat, exista un singur punct in interiorul segmentului si un singur punct inafara segmentului care impart segmentul in raportul  dat de acel numar.Punctele acestea si capetele segmentului se zic "conjugate armonic".
as complicated as that!!!!