Question

a) Demonstrati ca:$\sqrt{1+ \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{n^2} }= \frac{n^2+n+1}{n(n+1)}$ ,oricare ar fi n∈N*$b) Calculati suma: S= \sqrt{1+ \frac{1}{2^2}+ \frac{1}{3^2} }+ \sqrt{1+ \frac{1}{3^2}+ \frac{1}{4^2} } + ...+ \sqrt{1+ \frac{1}{98^2}+ \frac{1}{99^2} }$

Answer 1

egalitatea de la primul punct se arată mai ușor dacă scrii fracția din dreapta așa:

$\dfrac{n^2+n+1}{n(n+1)}=1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$. Ridici apoi la pătrat și obții

$1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}=\left(1+\dfrac1n-\dfrac{1}{n+1}\right)^2$

în dreapta folosești formula (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

Pentru 2)

Folosești egalitatea demonstrată la punctul 1) pentru n=2, 3, ..., 98, și obții:

$S=1+\dfrac12-\dfrac13+1+\dfrac13-\dfrac14+1+\dfrac14-\dfrac15+...+1+\dfrac{1}{98}-\dfrac{1}{99}=$

$=97+\dfrac12-\dfrac{1}{99}=...\ (cred\ ca\ nu\ e\ o\ problema)$