Question

a)Determinati numerele de forma _____ divizibile cu 45?
2a7b
b)Aratati ca numarul R=1+3^(1)+3^(2)+...+3^(98) divizibil cu 13

c)Demonstrati ca numarul A=2^(2n) x 19^(n)+24 x 101^(m) divizibil cu 25
Oricare m;
n apartine numerelor naturale

P.S. ^() inseamna la puterea

Answer 1

a)
ca sa fie divizibil cu 45 trebuie sa fie divizibil cu 5 si cu 9
ca sa fie divizibil cu 5  b= 0 sau b=5
ca sa fie divizibil cu 9  suma cifrelor nr  trebuie sa fie divizibil cu 9
b=0
2+7+0=9  ⇒ a=0  sau a=9
b=5
2+7+5=14 ⇒ a=4
nr sunt
2070
2970
2475

b)R=1+3^(1)+3^(2)+...+3^(98)=
=[1+3^(1)+3^(2)]+...3^96(1+3^(1)+3^(2)]=
=(1+3+9)+....+3^96(1+3+9)=
=13*(1+...+3^96) deci divizibil cu 13

c) A=2^(2n) x 19^(n)+24 x 101^(m)=
=4^n x 19^(n)+24 x 101^(m)=
=(4*19)^n+2424 = 76^n+2424 se termina in 76+24 =100 deci ultimele 2 cifre sunt 0 deci   divizibil cu 25
101^m se termina in 1 (1 la orice putere se termina in 1
76^n se termina ca 76^n adica in 6 (76 la orice putere se termina in 6