Question

A este o multime

A = {a + b * radical din 2 | a, b sunt intregi}

sa se arate ca radical din 3 nu apartine multimii A (stiu ca nu apartine, dar vreau sa stiu cum)

Answer 1

$Sa~presupunem~prin~absurd~ca~ar~exista~a,b \in Z~astfel~incat \\ \\ a+ b \sqrt{2}=\sqrt{3}. \\ \\ Pentru~inceput~vom~demonstra~ca~a \neq0~si~b \neq0.\\ \\Daca~a=0,~atunci~b \sqrt{2}=\sqrt{3} \Rightarrow b= \frac{\sqrt{6}}{2} \notin Z. \\ \\ Daca~b=0,~atunci~a= \sqrt{3} \notin Z. \\ \\ Deci~a \neq 0 ~si~ b \neq 0. \\ \\ In~continuare,~avem:$

$(a+b \sqrt{2})^2=3 \Leftrightarrow a^2+2ab \sqrt{2}+2b^2=3 \Rightarrow \sqrt{2}= \frac{a^2+2b^2-3}{2ab}, \\ \\ dar~a^2+2b^2-3 \in Z,~si~2ab \in Z,~astfel~ca~ \frac{a^2+2b^2-3}{2ab} \in Q,~insa \\ \\ \sqrt{2} \notin Q,~deci~presupunerea~facuta~a~fost~falsa \Rightarrow \sqrt{3} \notin A.$