Question

a) Fie ecuatia x^2+ax+b=0. Sa se afle a, b € R stiind ca x1^2+x2^2=2 si x1^3+ x2^3=20
b) Fie x1, x2 solutiile ecuatiei x^2+ ax+1=0 si y1, y2 solutiile ecuatiei y^2+by +1=0. Sa se calculeze (x1-y1)(x2-y1)(x1+y2)(x2+y2). Dau coronita. Va rog sa ma ajutati daca puteti.

Answer 1

a)  (x₁ +x₂)² - 2x₁x₂ = 2      a² - 2b = 2   b = (a² - 2)/2
(x₁ + x₂)(x₁² - x₁x₂ + x₂²) = 20
-a( a² - 3b) = 20    -a[a² -3(a² -2)/2] = 20   -a(-a²+6)/2 = 20
a³ - 6a = 40   a(a² - 6) = 40    a = 4    b = 7    
b) x² + 4x + 1 = 0      x₁ = - 2 + √3    x₂ = - 2 - √3
y² + 7y + 1 = 0      y₁ = [- 7 +3√5]/2      y₂ = [ - 7 - 3√5]/2
x₁ - y₁ = (- 4+ 2√3 + 7 - 3√5)/2 = (3 + 2√3 - 3√5)/2
x₂ - y₁ = (-4 - 2√3 + 7 -3√5)/2 = ( 3 - 2√3 - 3√5)/2
x₁ + y₂ = (-4 + 2√3 - 7 - 3√5)/2 = (2√3 - 3√5 -11)/2
x₂ + y₂ =  (-4 - 2√3 -7 -3√5)/2 = (- 2√3 - 3√5 - 11)/2
(x1-y1)((x2-y1) =1/4· [(3-3√5) +2√3]·[(3-3√5) - 2√3] =
=[(54 - 18√5 - 12] /4 = (21 - 9√5)/2 = 3(7 - 3√5)/2
(x₁ + y₂)(x₂ + y₂) =[-(3√5 + 11) + 2√3][-(3√5+11) - 2√3]/4 =
(166 + 66√5 - 12) /4 = (154 + 66√5)/4 = (77 + 33√5)/2 = 11(7 + 3√5)/2
P = 33/4 ·(49 - 45)  = 33