Question

A(n)= n la a 4-a + 2n la a 3-a - n² - 2n . unde n este natural si diferit de zero. Demonstrati ca A(n) este divizibil cu 8 oricare ar fi n∈N diferit de zero.

Answer 1

n⁴ + 2n³ - n² - 2n = n(n³ +2n² -n -2) = n * (n³ - n³ + 3n² - 3n + 2n - 2) =
= n[n²(n-1) +3n(n-1) + 2(n-1)] = n(n - 1)(n² + 3n + 2) = n(n-1)(n² + n + 2n + 2) =
=n(n - 1)[n(n +1) + 2(n+1)] = n(n - 1)(n + 1)(n + 2)
Trebuie sa demonstram ca n(n-1)(n + 1)(n + 2) este divizibil cu 8 pt. oricare n ∈ N

Observam ca n(n-1)(n + 1)(n + 2) = (n-1) * n * (n + 1) * (n + 2) este un produs a 4 numere naturale consecutive.

Din 4 numere naturale consecutive doua sunt numere pare consecutive.

Forma generala a unui numar par este 2k ,  k ∈ N
Forma generala a doua numere pare consecutive este:
2k,   2k + 2 unde k ∈ N

Daca k este inpar, atunci 2k este par  iar 2k + 2 = 2(k+1) este divizibil cu 4 deoarece 2 este par si k + 1 este tot par deoarece suntem in cazul k = impar.

Daca k este par atunci 2k  este divizibil cu 4 si 2k + 2 este par

⇒ Din 2 numere consecutive pare, unul este divizibil cu 2 si celalalt este divizibil cu 4.

⇒ produsul a doua numere consecutive pare este divizibil cu 2 * 4 = 8
Orice multiplu al unui numar divizibil cu 8 este divizibil cu 8.

⇒ (n-1) * n * (n + 1) * (n + 2) este divizibil cu 8