Question

a)patrulaterul convex ABCD are toate unghiurile congruente .Aratati ca ABCD este dreptrunghi. b) Demonstrati ca un patrulater care are trei unghiuri drepte este dreptunghi. c)Unghiurile patrulaterului convex ABCD sunt ascutite sau drepte.Demonstrati ca ABCD este dreptunghi​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a)

Notam masura unghiului A cu m(∡A)

Notam masura unghiului B cu m(∡B)

Notam masura unghiului C cu m(∡C)

Notam masura unghiului D cu m(∡D)

Ne amintim ca in orice patrulater convex, suma unghiurilor este 360°.

In patrulaterul nostru, avem

m(∡A) +  m(∡B) + m(∡C) + m(∡D) = 360°

Dar din ipoteza avem

m(∡A) =  m(∡B) = m(∡C) = m(∡D)

⇒

m(∡A) =  m(∡B) = m(∡C) = m(∡D) = 360°/4 = 90°

⇒

ABCD este cel putin dreptunghi; daca are laturile congruente atunci el este patrat.

b)

In patrulaterul ABCD, avem:

m(∡A) =  m(∡B) = m(∡C)  = 90°

Ne amintim ca in orice patrulater convex, suma unghiurilor este 360°.

⇒

m(∡D) = 360° - [ m(∡A) +  m(∡B) + m(∡C) ]

m(∡D) = 360° - [ 90° +90° +90°]

m(∡D) = 360° - 270°

m(∡D) = 90°

⇒

m(∡A) =  m(∡B) = m(∡C) = m(∡D) = 90°

⇒

ABCD este cel putin dreptunghi; daca are laturile congruente atunci el este patrat.

c)

Presupunem ca in patrulaterul ABCD, avem:

m(∡A) < 90°

⇔

m(∡A) = 90° - x°

si

m(∡B) = 90°

Ne amintim ca in orice patrulater convex, suma unghiurilor este 360°. Deci in ABCD avem

m(∡A) +  m(∡B) + m(∡C) + m(∡D) = 360°

⇒

90° - x° + 90° + m(∡C) + m(∡D) = 360°

m(∡C) + m(∡D) - x° = 360° - 90° - 90°

m(∡C) + m(∡D) = 180° + x°

Pt.ca aceasta egalitate sa fie adevarata unul din unghiurile C sau D sau ambele trebuie sa fie obtuze, ceea ce ar contrazice ipoteza.

⇒

m(∡A) =  m(∡B) = m(∡C) = m(∡D) = 90°

⇒

ABCD este cel putin dreptunghi; daca are laturile congruente atunci el este patrat.