Question

a) Rescrieți proprietățile relatiei de divizibilitate folosind în locul cuvântului ,,divizibil"
cuvântul ,,divide" şi în locul simbolului simbolul |.
b) Dați câte trei exemple pentru fiecare proprietate.​

Answer 1

Punctul A

Proprietatea 1 - Orice număr natural $n$ este divizibil cu 1 și cu el însuși.

• $\displaystyle{ n \ \vdots \ n }$
• $\displaystyle{ n \ \vdots \ 1 }$

Proprietatea rescrisă - Orice număr natural $n$ îl divide pe el însuși. De asemenea, 1 divide orice număr.

• $\displaystyle{ n \mid n }$
• $\displaystyle{ 1 \mid n }$

Proprietatea 2 (tranzitivitatea) - Fie a, b și c trei numere naturale diferite. Dacă a este divizibil cu b și b este divizibil cu c, atunci a este divizibil cu c.

• $\displaystyle{ a \ \vdots \ b, b \ \vdots \ c \rightarrow a \ \vdots \ c }$

Proprietatea rescrisă - Fie a, b și c trei numere naturale diferite. Dacă b îl divide pe a și b îl divide pe c, atunci c îl divide pe a.

• $\displaystyle{ b \mid a, b \mid c \rightarrow c \mid a }$

Proprietatea 3 - Fie a și b două numere naturale diferite. Dacă b este divizibil cu a, atunci b înmulțit cu orice număr natural este divizibil cu a.

• $\displaystyle{ b \ \vdots \ a \rightarrow b \cdot n \ \vdots \ a, \forall \ n \in \mathbb{N} }$

Proprietatea rescrisă - Fie a și b două numere naturale diferite. Dacă a îl divide pe b, atunci a va divide orice multiplu al lui b.

• $\displaystyle{ a \mid b \rightarrow a \mid b \cdot n, \forall \ n \in \mathbb{N} }$

Proprietatea 4 - Fie a, b și c trei numere naturale diferite. Dacă b și c sunt divizibile cu a, atunci suma, diferența și produsul numerelor b și c vor fi divizibile cu a.

• $\displaystyle{ b \ \vdots \ a, \ c \ \vdots \ a \rightarrow (b + c) \ \vdots \ a, \ (b - c) \ \vdots \ a, \ (b \cdot c) \ \vdots \ a }$

Proprietatea rescrisă - Fie a, b și c trei numere naturale diferite. Dacă a divide pe b și a divide pe c, atunci a divide suma, diferența și produsul numerelor b și c.

• $\displaystyle{ a \mid b, \ a \mid c \rightarrow a \mid (b+c), \ a \mid (b - c), \ a \mid (b \cdot c) }$

Proprietatea 5 - Dacă a este divizibil cu b și b este divizibil cu a, atunci numerele a și b sunt egale.

• $\displaystyle{ a \ \vdots \ b, \ b \ \vdots \ a \rightarrow a = b }$

Proprietatea rescrisă - Dacă a se divide cu b și b se divide cu a, atunci numerele a și b sunt egale.

• $\displaystyle{ a \mid b, \ b \mid a \rightarrow a = b }$

Proprietatea 6 - Numărul zero este divizibil cu orice număr natural nenul.

• $\displaystyle{ 0 \ \vdots \ n, \forall \ n \in \mathbb{N*} }$

Proprietatea rescrisă - Orice număr natural nenul îl divide pe zero.

• $\displaystyle{ n \mid 0, \forall \ n \in \mathbb{N*} }$

Punctul B

Exemple proprietatea 1:

• $\displaystyle{ 2 \ \vdots \ 2 }$
• $\displaystyle{ 17 \mid 17 }$
• $\displaystyle{ 451 \ \vdots \ 1 }$

Exemple proprietatea 2:

• $\displaystyle{ 18 \ \vdots \ 6, \ 6 \ \vdots \ 3 \rightarrow 18 \ \vdots \ 3 }$
• $\displaystyle{ 2 \mid 4, \ 4 \mid 8 \rightarrow 2 \mid 8 }$
• $\displaystyle{ 5 \mid 10, \ 10 \mid 100 \rightarrow 5 \mid 100 }$

Exemple proprietatea 3:

• $\displaystyle{ 3 \mid 6 \rightarrow 3 \mid 6 \cdot 2 \rightarrow 3 \mid 12 }$
• $\displaystyle{ 40 \mid 80 \rightarrow 40 \mid 80 \cdot 5 \rightarrow 40 \mid 400 }$
• $\displaystyle{ 2 \mid 4 \rightarrow 2 \mid 4 \cdot 8 \rightarrow 2 \mid 32 }$

Exemplu proprietatea 4:

$\displaystyle{ 3 \mid 6, \ 3 \mid 9 \rightarrow }$

• $\displaystyle{ 3 \mid (6 + 9) \rightarrow 3 \mid 15 }$
• $\displaystyle{ 3 \mid (9 - 6) \rightarrow 3 \mid 3 }$
• $\displaystyle{ 3 \mid (6 \cdot 9) \rightarrow 3 \mid 54 }$

• Exemple proprietatea 5:
• $\displaystyle{ 6 \ \vdots \ \frac{12}{2}, \ \frac{12}{2} \ \vdots \ 6 \rightarrow 6 = \frac{12}{2} }$
• $\displaystyle{ 10 \mid 5 \cdot 2, \ 5 \cdot 2 \mid 10 \rightarrow 5 \cdot 2 = 10 }$
• $\displaystyle{ 40 \mid 10 \cdot 4, \ 10 \cdot 4 \mid 40 \rightarrow 10 \cdot 4 = 40 }$

Exemple proprietatea 6:

• $\displaystyle{ 0 \ \vdots \ 31 }$
• $\displaystyle{ 618119 \mid 0 }$
• $\displaystyle{ 1 \mid 0 }$

#copaceibrainly