Question

a.Sa se arate ca:
1/√2+1/√3=1/3√2-2√3
b. Determinati partea intreaga si prima cifra de dupa virgula a numarului
a=(3√2-2√3)^-1.
c. Determinati numerele rationale x, y ce satisfac egalitatea:
(5+2√2)·x+(1-√2)·y=4+3√2
Va rog frumos sa ma ajutati! Dau coroana si 100 de puncte!
Raportez abuzurile!!!!! Multumesc! ;)

Answer 1

a)
1/√2+1/√3=1/(3√2-2√3)
√2/2 +√3/3=(3√2+2√3)/(18-12)
(3√2+2√3)/6=(3√2+2√3)/6, adevarat

b)
a=(3√2-2√3)^(-1)=1/(3√2-2√3)

Presupunem ca (3√2-2√3)>1
3√2>2√3
ridicam la patrat:
18>12, adevarat
Deoarece (3√2-2√3)>1, a=1/(3√2-2√3)<1, deci este subunitara, rezulta
ca partea sa intreaga este ''0".

c)
(5+2√2)·x+(1-√2)·y=4+3√2
5x+2√2x+y-√2y=4+3√2
(5x+y)+(2x-y)√2=4+3√2
Rezulta:
5x+y=4
2x-y=3
Adunam relatiile:
5x+y+2x-y=4+3
7x=7
x=1
y=-1

Answer 2

1/√2+1/√3=1/3√2-2√3

Mai clar :  1/√2 + 1/√3 = 1/(3√2 - 2√3)

Vom porni de la membrul din dreapta și, prin transformări succesive,

vom ajunge la membrul din stânga.

[tex]\it \dfrac{^{3\sqrt2+2\sqrt3)}1}{\ \ \ 3\sqrt2 - 2\sqrt3} =\dfrac{3\sqrt2+2\sqrt3}{(3\sqrt2)^2-(2\sqrt3)^2}=\dfrac{3\sqrt2+2\sqrt3}{18-12}=\dfrac{3\sqrt2+2\sqrt3}{6} \\\;\\ \\\;\\ = \dfrac{3\sqrt2}{6} + \dfrac{2\sqrt3}{6} = \dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt3}{3} =\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2}+\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3} =\dfrac{1}{\sqrt2}+\dfrac{1}{\sqrt3} [/tex]

b)

$\it (3\sqrt2 -2\sqrt3)^{-1} = \dfrac{1}{3\sqrt2 -2\sqrt3}$

Folosind punctul a) putem scrie:


$\it\dfrac{1}{3\sqrt2 -2\sqrt3} = \dfrac{1}{\sqrt2}+\dfrac{1}{\sqrt3} =\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt3}{3}$

√2  și √3 trebuie să-i știm, cu o aproximație rezonabilă.

√2 ≈ 1,41

√3 ≈ 1,73

Înlocuind în ultima parte a expresiei, obținem

0,70+0,57 ≈ 1,2  (prima zecimală e sigură !)

Pentru a elimina "nostalgia" aproximărilor, care nu e chiar departe de a fi

constructivă, s-ar putea gândi așa :

3√2 - 2√3 <1 ⇔ (3√2 - 2√3)² <1² ⇔ 18-2·3√2·2√3 +12 <1 ⇔ 30 -12√6  < 1 ⇔

⇔ 30 - 1 < 12√6 ⇔ 29 < 12√6 ⇔29² < (12√6)² ⇔ 841 < 864 (A)

Deci,  3√2 - 2√3  < 1 ⇔ 1/(3√2 - 2√3 ) > 1 ⇔(3√2 - 2√3)^(-1)  > 1

Se poate arăta, similar, că expresia este < 2, adică :


1 < (3√2 - 2√3)^(-1)  < 2 ⇒ [(3√2 - 2√3)^(-1) ] =1