Question

A) Sa se demonstreze ca functia f: (1, infinit) ---> R, f(x) = x + 1/x, este injectiva.
b) Fie multimea A = {-2, -1, 0,1,2} si o functie bijectiva f: A--->A. Sa se calculeze f(-2) + f(-1) + f(0) + f(1) + f(2).
c) Fie multimea A = {-2, -1, 0,1,2}. Sa se determine numarul functiilor bijective f: A--->A.
d) Sa se determine inversa functiei bijective:
f: (0, infinit)---> (1, infinit), f(x)= x patrat + 1:
f: (1, infinit) ---> (0, infinit), f(x)= x - 1.

Answer 1

a)Se  va  demonstra  ca  f este  strict  crescatoare, cea  ce  implica f injectiva.
fie  1<x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)=(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2=(x1-x2)*(1-1/x1x2)<0  Pt  ca  prima paranteza  este  negativa  si  a  2 a  este  pozitiva, pt  ca 1/x1*x2<1 ai1-1/x1*x2>0
f(x1)-f(x2)<0 =>  f(x1)<f(x2) =>  f 
b)Daca  f=bijectiva  Pt  ∈a1∈A f(a1)∈A  => f(-2)+f(-1)+f(o)+f(1)+f(2)=-2-(-1)+0+1+2=0
c) cardA=5=> Exista  5!  functii  bijective
d)f(x)=y  x²+1=y=> x=√(y-1)  f(y)=√(y-1)  faci  y→x 
f^(-1)(x)=√(x-1)