Question

(a) Sa se determine numarul de siruri (an)n≥1 avand termeni intregi cu prop ca an · an+2 · an+3 = -1 , ∀n ≥ 1
(b) Sa se dem ca nu exista siruri (an)n≥1 avand termeni intregi a.i an · an+2 · an+3 = 2005, ∀n ≥ 1
-----------------------------------------
nu stiu de ce dar mie mi se pare ca (b) este incorect... obs ca exista un sir format din termenii an = 1 , an+2 = 5 si an+3 = 401..un exemplu de sir ce contrazice cerinta

Answer 1

a1, a2, a3, a4, an, a6, a7, a8, a9, a10,a11,a12, a13, a14, a15, ...............an
Avem relatia
an · an+2 · an+3 = -1 deci an+3=-1/(an · an+2)
ptr. n=1  a4=-1/(a1 · a3)
cum aven nr. din Z singurele numere ce pot fi solutii sunt date de
(a1 · a3)=+/-1 deci deja 2 posibile siruri 
       a.  a1=1, a3=-1, deci a4=1....
       b. a1=-1, a3=1, deci a4=-1....
Dezvoltam punctul a
Calculam pe urmatorul
a5=-1/(a2 · a3)=-1/[(a2*(-1)]=1/a2
din aceleasi considerente ca numerele sa fie intregi, gasim doar 2 variante ptr a2=+/-1
avem acum  subvariantele
      a1.1 ce porneste cu a1=1, a2=+1, a3= -1, a4=1
      a1.2 ce porneste cu a1=1, a2=-1, a3= -1, a4= -1
      b1.1 ce porneste cu a1= -1, a2=+1, a3=1, a4=1
      b1.2 ce porneste cu a1= -1, a2=+1, a3=1, a4= -1
       Dezvoltam varianta a.1. cu    a1=1, a2=+1, a3=-1, a4=1, mergand cu calculele si am obtinut sirul
1,1,-1,   1,-1,-1, 1,1,1,-1,     1,-1,-1, 1,1,1,-1,    1,-1,-1, 1,1,1,-1,..... la care se observa periodicitatea 7
astfel putem scrie incepand cu
       a4=a(4+7)=a(4+14)= a(4+n*7)
       a5=a(5+7)=a(5+14)= a(5+n*7)
       a6=a(6+7)=a(6+14)= a(6+n*7)
       a5=a(7+7)=a(7+14)= a(7+n*7)
        etc
        a10=a(10+7)=a(10+14)= a(10+n*7)
iar de la a11=a4
Cu alte cuvinte avem termen general sub forma a 7 relatii:
n de forma 7k+1 an=a7=1,
 n de forma 7k+2, an=a8=1
etc
n de forma 7k+6, an=a13=-11
La fel se judeca si celelalte 3 variante 2.2, 1.2, 1.3

Exercitiul al doilea se rezolva asemanator
an · an+2 · an+3 = 2005, ∀n ≥ 1
an+3=2005/(an · an+2)
din considerente de numere intregi
ptr. (an · an+2)=2005 exista 16 variante (2005 are doar descompunerile = +/-1*2005 sau +/- 401*5
a.1  an=1 si an+2=2005
a.2  an= -1 si an+2=2005
a.3  an= -1 si an+2= -2005
a.4  an= -1 si an+2=-2005
a.5  an=2005 si an+2=1
a.6  an=-2005 si an+2=1
a.7  an=2005 si an+2=-1
a.8  an=-2005 si an+2= -1
a.9  an=5 si an+2=401
a.10  an= -5 si an+2=401
a.11  an= 5 si an+2= -401
a.12  an=-5 si an+2= -401
a.13  an=401 si an+2= 5
a.14  an= -401 si an+2= 5
a.15  an=401 si an+2= -5
a.16  an= -401 si an+2=  -5
 
Dezvoltam pe a.1    ptr. n=1  a1=1, a3=2005
a4=2005/1*2005=1
a5=2005/a4*a2=2005/1*a2=2005/a2 iar din considerente de nr intregi
apar din nou 8 subvariante ptr. a2:    a2=+/-1,  a2=+/-5,   a2=+/-401  si  a2=+/-2005
dezvoltam a.1.1 ptr n=1
a1=1, a2=1, a3=2005, a4=1
calculam a5=2005/1=2005
                 a6=2005/a5*a3=2005/2005*2005 care nu mai este intreg!!!
             
Bineinteles asa se arata ca nici o varianta nu merge, deci nu putem construi astfel de siruri.