Question

A2 punctul c) .
Trebuie sa demonstrez ce e subliniat .. si de la inegalitatea raportului x/y nu stiu cum sa continui .

Answer 1

A2 / c)

Pentru a demonstra ca M=(-1,1) este parte stabila in raport cu operatia "*", trebuie aratat ca oricum am alege x si y apartin M rezulta x*y apartine M.
__________________________________________________________

Fie deci x si y apartin (-1,1) alese arbitrar.

Din |x|<1 si |y|<1 rezulta |xy|<1 adica -1<xy<1 de unde obtinem 1+xy>0.

x*y apartine M <=> -1<x*y<1.
Avem -1<x*y <=> (x+y)/(1+xy)>-1 <=> x+y>-1-xy <=> (1+x)(1+y)>0, ceea ce este adevarat deoarece 1+x>0 si 1+y>0.
Asemanator: x*y<1 <=> (x+y)/(1+xy)<1 <=> x+y<1+xy <=> (1-x)(1-y)>0, ceea ce este adevarat deoarece 1-x>0 si 1-y>0.

Deci am reusit sa aratam ceea ce ne-am propus, de unde rezulta ca M este parte stabila in raport cu operatia "*".
__________________________________________________________

Observatie: n-am vazut clar cum s-a notat operatia, deci am ales "*". In cazul in care s-a notat altfel, poti schimba "*" in altceva caci demonstratia ramane valabila.