Question

A4 va rog. Stiu coditiile logaritmului dar nu stiu cum sa interpretez acel x>0

Answer 1

lg[(m+3)x^2-(m+4)x+4+m]

Cerinta este sa se afle m real a.i logaritmul dat sa existe, pentru orice x>0.

Punem conditia de existenta in argument:
(m+3)x^2-(m+4)x+4+m>0

Deoarece logaritmul are baza 10>0, 10 diferita de 1, atunci ne concetram pe conditia de mai sus.
Luam si urmatorul detaliu: x>0
Dar trebuie ca inecuatia de mai sus sa aiba solutii pozitive.
Calculam pe delta:
Δ=b²-4ac=> Δ=(m+4)²-4(m+3)(4+m)

Stim din tabelul de semn ca daca o functie de gradul al II-lea are delta negativ, rezulta ca semnul va fi doar semnul lui a.
Noi cautam ca numarul din logaritm sa fie strict pozitiv, adica sa aiba semnul +.

Inseamna ca punem si conditia ca m+3>0 => m>-3 => m∈(-3,∞)
Δ<0=>(m+4)²-4(m+3)(4+m)<0=>(m+4)(m+4-4m-12)<0=>
=>(m+4)(-3m-8)<0
Aplicam semnul functiei de gradul I:
m+4=0=>m=-4
-3m-8=0=>-3m=8|*(-1)=>3m=-8=>m=-8/3

m                      -∞              -4            -8/3                       +∞
m+4                  ----------------0+++++++++++++++++++                  
-3m-8                ++++++++++++++++0---------------------
(m+4)(-3m-8)    ----------------0++++++0----------------------

Atunci m∈(-∞,-4)∪(-8/3,+∞)
Dar m∈(-3,∞)
Intersectand cele trei intervale obtinem m∈(-8/3,+∞)