Question

A7) fie functia f:R->R
f(x)= $\left \{ {{ax+2,x\ \textless \ 2} \atop {x+2,x \geq 2}} \right.$
Sa se determine a∈R pentru care functia este injectiva, surjectiva , bijectiva.

Dau coroana!.

Answer 1

Injectiva
analizam  cazul  x≥2,Functia  este  crescatoare  pt  ca  panta  dreptei  m=1>0
Deci  valoarea  minima este  f(2)=2+2=4  Pt  x>2  f(x)>4,
O  functie  strict  crescatoare  este  si  injectiva  Deci  f  injectiva pt  x≥2
analizam  cazyul    x<2 
Daca  a<0  atunci  pt  x<0  ax>0 si ax+2≥4  deci  f  nu  este  injectiva
cazul  a=0  f(x)=0 pt  ∀x<2  deci  nu  este  injectiva
Pt  a∈ (0,4]  f(x)  este  crescatoare  si  valoarea  maxima  e  mai  mica  decat f(2)<4  Deci  f  injectiva  pt a∈(0,1]
Surjectivitate,Vom  analiza  cazul  a∈(0 ,1]
f(x)=y  y<4
y=ax+2=> x=(y-2)/a  Ecuatia  admite  solutii  pt  y<4 deci  Imf=(-∞ ,4)
Pt  x≥2  f(x)≥4 =>
Imf=(-∞ ,4)U[4 , ∞)=R
Im  f=codomeniul  =R  deci  e  surjectiva
Daca  e  injectiva  si  surjectiva  e  si  bijectiva  a∈(0 ,1]