Question

ab/a+b + bc/b+c+ca/c+a<_ a+b+c/2

Answer 1

4·ab / ( a +b)   ≤ a + b           adica                4 ·ab ≤ ( a +b) ² 
                                adevarat 4ab ≤ a² + 2ab + b² 
                                               0 ≤ a² +2ab - 4ab    + b²  ( este teorie) 
                                                0 ≤ a² -2ab + b²
                                                0 ≤ ( a -b ) ²  adevarat pentru ∀a,b∈R
4·bc  / ( b +c  )  ≤  b +c 
4· ca ( c +a)      ≤ c +a 
--------------------------------------------
adunate  4  · [ ab / ( a +b )  + bc / ( b +c) + ca / ( c +a) ] ≤ a+b+b+c+c+a 
  4  · [ ab / ( a +b )  + bc / ( b +c) + ca / ( c +a) ] ≤ 2a + 2b +2c  impartim cu 4
ab / ( a +b) + bc / ( b +c) + ca / ( c +a )   ≤   2 ( a +b + c ) / 4 
 ab / ( a +b) + bc / ( b +c) + ca / ( c +a )   ≤    ( a +b + c ) / 2