Question

√ab ∈ Q ....... a= 1×2×3×...×16 ....... valoarea minima, nenula a lui b este ?

Answer 1

Descompunem pe a in factori primi:

1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×13×14×15×16 = 2¹⁵ × 3⁸ × 5³ × 7² × 11 × 13
√(2¹⁵ × 3⁸ × 5³ × 7² × 11 × 13) = 2⁷ × 3⁴ × 5 × 7 × √(2 × 5 × 11 × 13)
=> a este numar irational
Pentru a fi rational, b trebuie sa aiba valoarea:
b = 2 × 5 × 11 × 13

Answer 2

$\sqrt{ab}=\\ \sqrt{2\cdot 3\cdot 2^2\cdot 5 \cdot (2 \cdot 3)\cdot 7\cdot 2^3\cdot 3^2\cdot (2\cdot 5)}\cdot\\ \sqrt{\cdot 11\cdot (3\cdot 2^2)\cdot 13\cdot (2\cdot 7)\cdot (3 \cdot 5)\cdot 2^4\cdot b}=\\ \\ =\sqrt{2^{15}\cdot 3^{6}\cdot 5^3\cdot 7^2\cdot 11\cdot 13\cdot b}=\\ \\ =2^7\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\sqrt{2\cdot 5\cdot 11\cdot 13\cdot b}$

Pentru ca radicalul sa fie rational, trebuie ca:

$b=\dfrac{1}{2\cdot 5\cdot 11\cdot 13}$

asta fiind valoarea minima a lui b.

COMPLETARE:

Mai exact, radicalul acela e rational pentru oricare b de forma:

$b=\dfrac{1}{(2\cdot 5\cdot 11\cdot 13)^{2k+1}}$

Iar b este minim atunci cand $k\rightarrow \infty$