Question

ABC este un triunghi echilateral cu latura 2, iar in afara lui, considerand laturile diametre, se construiesc semicercuri.Sa se afle aria portiunii hasurate

Answer 1

$\displaystyle Raza~semicercurilor~este: \\ \\ r'=\frac{l}{2}=1. \\ \\ Aria~totala~a~semicercurilor~este: \\ \\ A'=3\pi r'^2=3\pi \\ \\ Aria~triunghiului~este \\ \\ A_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt3}{4}\cdot l^2=\sqrt3 \\ \\ Raza~cercului~mare~este: \\ \\ R=r'+R' \\ \\ ,~unde~R'-raza~cercului~circumscris~triunghiului. \\ \\ R'=\frac{l^3}{4\frac{\sqrt3 l^2}{4}}=\frac{8}{4\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3} \\ \\ R=1+\frac{2\sqrt3}{3} \\ \\ Aria~portiunii~hasurate~este: \\ \\ A=A_{cerc~mare}-A_{triunghi+semicercuri} \\ \\ A_{cerc~mare}=\pi R^2=\frac{21\pi+12\pi\sqrt3}{9} \\ \\ A_{triunghi+semicercuri}=3\pi+\sqrt3 \\ \\ A_{portiuni~hasurate}=A_{cerc~mare}-A_{triunghi+semicercuri} \\ \\ Dupa~efectuarea~calculelor~si~simplificare~obtinem: \\ \\ A_{portiuni~hasurate}=\frac{4\pi\sqrt3-2\pi-3\sqrt3}{3}$