Question

ΔABC este un triunghi isoscel AB=AC,m(BAC)=120°,BD=DC=6√3 cm,D∈(BC).
Calculeaza lungimea segmentului AD
Daca H este ortocentrul triunghiului ABC ,aflla AΔHBC
Stiiind ca AP⊥HB afla AΔAPB/AΔHBC

Answer 1

unghiul A obtuz
H se afla in afara triunghiului
ΔABC este un triunghi isoscel  si m(∡BAC)=120°  ⇒
m(∡ABC)=m(∡ACB)=(180°-120°)82=30° 
teorema unghiului de 30°
AD=AB/2   notam AD=a  ⇒ AB=2a
AB²=BD²+AD²
4a²=(6√3)²+a²
3a²=36×3
a²=36
a=6  ⇒ AD=6    ⇒AB=AC=2×6=12


AP perpendicular pe HB  si BH perpendicular pe AC  ⇒C,A si P  colineare
HD perpendicular pe BC
CP perpendicular pe HB
BM perpendicular pe HC
H,A si D colineare
B, A si M colineare
A devine ortocentrul triunghiului HBC

m(∡BAP)=m(∡CAM)=180°-120°=60°   (unghiuri opuse la varf) ⇒m(∡ABP)=m(∡ACM)=30° ⇒AP=AM=12/2=6  ⇒BP=6√3
⇒A se afla la in triunghiul HBC pe mediana la 2/3 din varf si 1/3 de la baza 
⇒A este si centru de greutate ⇒triunghiul HBC este echilateral⇒
cu latura de 6√3×2=12√3
A(APB)=AP×BP/2=6×6√3/2=18√3
A(HBC)=L²√3/4=(12√3)²×√3/4=432√3/4=108√3
A(APB)/A(HBC)=18√3/108√3=1/6