Question

Abc-triunghi dreptunghi,masura unghiului A 90 de grade,[AM]-mediana si [BE]  este bisectoare,BE perpendicular pe AM sI BE =6 cm.
Aratati ca triunghiul ABM este  echilateral.
Calculati perimetrul triunghiului ABC.
Calculati aria tringhiului AMC.

Answer 1

a) Mediana coespunzatoare ipotenuzei este jumatate din ipotenuza. Deci AM=BC/2=BM
In triunghiul ABM, bisectoarea BE este si inaltime, deci triunghiul este isoscel cu baza AM, de unde AB=AM. Deci tr. ABM echilateral
b) Folosind formula inaltimii in triunghiul echilateral, avem:
$BE=\dfrac{AB\sqrt3}{2}\Rightarrow AB=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3\ cm.$

$BC=2AM=8\sqrt3\ cm$

Cu teorema lui Pitagora in triunghiul ABC, obtinem $AC=12\ cm$

Perimetrul este acum usor de calculat, deoarece stim toate laturile.
c) "Mediana unui triunghi imparte triunghiul in doua triunghiuri echivalente (de aceeasi arie)". Deci:
$A_{AMC}=\dfrac12\cdot A_{ABC}=\drafc12\cdot\dfrac{12\cdot4\sqrt3}{2}=12\sqrt3\ cm^2$