Question

ABC-triunghi oarecare ; BC=12cm;AC=16cm;AD perpendicular pe BC ;BE perpendicular pe AC ;AD=12cm.Aflați aria triunghiului ABC si lungimea lui BE

Answer 1

1. In triunghiul ABC - dreptunghic, masura unghiului A = 90 de grade => conform teoremei lui Pitagora ca BC² = AB² + AC² = 108 + 36 = 144 => BC = 12 cm
sin B = AC pe BC = 6 pe 12 = 1 pe 2 => m (B) = 30 de grade
triungiul ABC este dreptunghic, deci m (C) = 90 de grade - m (B) = 60 de grade

2. Aplici teorema lui Pitagora: AC² = BC² - AB² = 576 - 144 = 432 => AC = 12√3 cm
Perimetrul triunghiului ABC = AB + AC + BC = 12 cm + 24 cm + 12√3 cm = 12(3 + √3) cm
cos B = AB pe BC = 12 pe 24 = 1 pe 2 => m (B) = 60 de grade
sin C = AB pe BC = 1 pe 2 => m (C) = 30 de grade

3. D = pr indice BC A => AD este perpendicular pe BC si triunghiul ABC - dreptunghic => conform teoremei inaltimii ca AD² = BD x DC => 64 cm² = 4 cm x DC => DC = 64 cm² : 4 cm = 16 cm
Triunghiul ADC - dreptunghic => conform teoremei lui Pitagora ca AC² = AD² + DC² = 64 cm² + 256 cm² = 320 cm² => AC = 8√5 cm
Triunghiul ABD - dreptunghic => conform teoremei lui Pitagora ca AB² = AD² + BD² = 64 cm² + 16 cm² = 80 cm² => AB = 4√5 cm
BC = BD + DC = 4 cm + 16 cm = 20 cm
sin B = AC pe BC = 8√5 pe 20 = 2√5 pe 5
sin C = AB pe BC = 4√5 pe 20 = √5 pe 5 
sin B + sin C = 2√5 pe 5 + √5 pe 5 = 3√5 pe 5

4. m (BAD) = 30 de grade => m (ABC) = 60 de grade
m (ABC) = 60 de grade => m (ACB) = 30 de grade
Cateta opusa unghiului de 30 de grade (AB) este jumatatea din ipotenuza (BC) => AB = BC pe 2 = 12 pe 2 = 6 cm
Triunghiul ABC - dreptunghic => conform teoremei lui Pitagora ca AC² = BC² - AB² = 144 cm² - 36 cm² = 108 cm² => AC = 6√3 cm

5. AD - inaltime => triunghiul ADB - dreptunghic => sin B = AD pe AB => sin 60 de grade = 6 cm pe AB => √3 pe 2 = 6 cm pe AB => AB = 4√3 cm
tg B = AD pe BD => √3 = 6 cm pe BD => BD = 2√3 cm
Triunghiul ABC - dreptunghic si AD - inaltime => comform teoremei inaltimii ca AD² = BD x DC => 36 cm² = 12 cm² x DC => DC = 3 cm
Triunghiul ADC - dreptunghic => conform teoremei lui Pitagora ca AC² = AD² + DC² = 36 cm² + 9 cm² = 45 cm² => AC = 3√5 cm