Question

ABCD-dreptunghi ( AC mai mare decat BC)
diagonalele formeaza ∡ 60·
P∈ piciorul perpendicularei duse din D pe diagonala AC
DEMONSTREAZA CA: AC=4AP

Answer 1

In dreptunghi diagonalele se injumatatesc, deci OA = OD ( O fiind intersectia diagonalelor.

Avand si faptul ca unghiul de la intersectie este de 60 de grade, din ambele rezulta (OA = OD si unghiul AOD de 60) ca triunghiul AOD este echilateral.
Din asta rezulta ca toate unghiurile triunghiului sunt de 60, deci si unghiul DAO este de 60.
Deci in triunghiul DAP avem unghiul DAP = 60 grade si unghiul DPA = 90 (perpendicular) rezulta ca unghiul ADP = 30 grade. Prin teorema 30-60-90 rezulta ca AD=2AP (deoarece latura opusa unghiului de 30 de grade este jumatate din ipotenuza, aici aceasta fiind AD).
Si cum triunghiul ADO este echilateral, deci AD = AO = OD si relatia ca AD = 2AP rezulta ca AD = AO = 2AP.
Avand si faptul ca AC = 2AO (AO = OC deci AC = 2AO) si faptul ca AO = 2AP din ambele rezulta ca AC = 2AP .

Sper ca te-a ajutat.