Question

ABCD dreptunghi cu AB =28 cm și BC =21 cm. E este mijlocul segmentului DC.
Aratati ca sinusul unghiului AEB este 12/13

Answer 1

Putem calcula aria triunghiului in doua moduri
Prima data, putem calcula aria lui AEB scazand din aria dreptunghiului ariile celorlalte triunghiuri formate
$A_{ABCD}=A_{ADE}+A_{AEB}+A_{BEC}$
triunghiurile ADE si BEC sunt triunghiuri dreptunghice, deci putem calcula ariile lor drept produsul catetelor pe 2
$A_{ADE}=\frac{AD*DE}{2}$
$A_{BEC}=\frac{BC*CE}{2}$
Dar stim din dreptunghi faptul ca AD=BC=21 si AB=CD=28, si E este mijlocul lui DC, atunci DE=CE=14
DIn relatiile de pana acum rezulta ca
$A_{ADE}=A_{BEC}$
Putem afla atunci aria lui AEB
$A_{ABCD}=A_{ADE}+A_{AEB}+A_{ADE}\Rightarrow A_{AEB}=A_{ABCD}-2*A_{ADE}=AD*CD-2\frac{AD*DE}{2}=AD*CD-AD*DE=AD(CD-DE)=21(28-14)=21*14$
Aria lui AEB poate fi scrisa drept produsul laturilor si sinusului dintre ele pe 2
$A_{AEB}=\frac{AE*EB*\sin{AEB}}{2}=21*14$
AE si EB sunt ipotenuzele celor doua triunghiuri dreptunghice deci le putem folosi teorema lui Pitagora
$AE^{2}=AD^{2}+DE^{2}$
$EB^{2}=BC^{2}+CE^{2}$
Stim ca AD=BC si DE=CE din relatiile anterioare, atunci
AE=EB adica
$AE*EB=AE^{2}=AD^{2}+DE^{2}=21^{2}+14^{2}=441+196=637$
Inlocuim in formula de mai sus
$A_{AEB}=\frac{637*\sin{AEB}}{2}=21*14\Rightarrow \sin{AEB}=\frac{21*14*2}{637}=\frac{12}{13}$