Question

ABCD si BEFC sunt paralelograme cu AD=60m,AB=BE=80m si punctele A,B si E coliniare . Se consideră punctele M si N pe laturile BE , respectiv CD ,astfel incat MN perpendicular pe BC si BM =CN=60m. a) perinetru ABCD = 280 m. b) unghiul DAB=60°. c) Aria suprafetei CMEF este mai mica decat 2600m la a doua.

Answer 1

        E     M                            B                                   A
         -------|----------------------------------------------------------
       /                                      /                                       /
      /                                      /                                       /
     /                                      /  P                                  /
    /                                      /                                      /
   /                                      /                                      /
  /                                      /                                      /
 /___________________/____________|______/
F                                    C                        N           D 

a) P(ABCD) = AB + BC + CD + DA = (AB+CD) + (BC+DA) = 2*80 + 2*60 = 160 + 120 = 280 m;

b) unghi DAB  = unghi PBM (ca unghiuri corespondente) = ?
triunghi MPB ~ triunghi NPC (M cu N si B cu C sunt perechi de unghiuri alterne interne) ==> MP/NP=PB/PC=MB/NC=60/60=1 ==> PB/PC=1 ==> PB = PC =BC/2=60/2=30;
triunghi BPM (dreptunghic in unghiul P): cos (unghiPBM) = cateta alaturata/ipotenuza = BP/MB= 30/ 60 = 1/2 ==> unghi PBM = 60 grade ==> masura unghiului DAB = 60 grade;

c)  Aria (CMEF) < 2600^2 (trebuie sa demonstram asta)
Aria (CMEF) = Aria(EBCF) - Aria(CMB) (1);
Aria(EBCF) = EB*CC', unde CC' _|_ EB;
din triunghi CC'B aflam CC'; sin(CBC')=cat opusa/ipotenuza=CC'/BC ==> sin 60 = CC'/BC ==> (radical3)/2 = CC'/60 ==> CC' = (60*(radical3))/2= 30*(radical3);
deci Aria(EBCF) = 80*30*(radical3)=2400*(radical3) mp (metri patrati);

Aria(CMB) =  (baza * inaltime) / 2 = (BC * MP)/2 = (60 * 30*(radical3))/2= 30 * 30*(radical3) = 900* (radical3)

Deci din relatia (1) --> Aria(CMEF) = 2400*(radical3) - 900*(radical3) = 1500*(radical3)  metri patrati;

trebuie sa aratam acum ca 1500*(radical3) < 2600^2 (=2600 * 2600);
se observa ca 1500 < 2600 si ca radical3 < 2600 ==> 1500*(radical3) < 2600^2   (q.e.d.)

Notatie: ^ = la puterea

:D