Question

ABCD tetraedru regulat cu AB=6 cm si O=pr(BCD)A. Cum demonstrez ca: a) OD=OB=OC b) OD perpendicular BC c) calculati OB d) calculati OA

Answer 1

vezi fig
a) pr lui A pe BCD este in O si este perpendiculara coborita din A pe baza
deci AO= inaltimea tetraedrului
stim ca O se afla la intersectia mediatoarelor triunghiului BCD (centrul cercului circumscris triunghiului DCB)
OD=OB=OC=R(raza cercului circumscris)
b) triunghiurile DOB SI DOC sunt egale avind laturile egale 2 cite 2 rezulta ca unghiurile CDO si ODB  sunt egale,
deci OD este bisectoare in triunghiul echilateral BDC
REZULTA CA E SI INALTIME DECI OD ESTE PERPENDICULAR PE CB
c) in triunghiul dreptunghic DEB
CF PITAGORA
DE²=DB²-EB²=6²-3²
DE=3√3
O fiind si centru de greutate inseamna ca este situat la 2/3 de firf
DO=DE X 2/3=3√3 x 2/3= 2√3
OB=OD=2√3
d) in triunghiul dreptunghic AOB
CF PITAGORA
AO²=AB²-OB²=6²-(2√3)²
AO=2√6