Question

ABCD trapez cu AB paralela cu CD si AC perpendiculara cu CB iar AB= 25cm CD= 11 cm AC = 20 cm a) inaltimea si laturile neparalele ale trapezului b) Aria trapez c) Distanta de la punctul D la AC.

Answer 1

a) Ducem inaltmile din C si D pe baza AB si le notam cu M si N, astfel avem
CM=DN=h=inaltimea trapezului CMND este dreptunghi, atunci CD=MN

AC perpendicular pe BC, inseamna ca triunghiul ACB este dreptunghic cu $\widehat{ACB}=90$ unde AC si CB sunt catetele, si AB este ipotenuza
Putem sa aflam pe BC folosindu-ne de teorema lui Pitagora
$BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}=25^{2}-20^{2}=625-400=225\Rightarrow BC=15$
Aria unui triunghi dreptunghic poate fi aflata in doua feluri
$A_{\triangle dreptunghic}=\frac{cateta1*cateta2}{2}=\frac{h*ipotenuza}{2}$
Aplicand in cazul nostru
$A_{ACB}=\frac{AC*BC}{2}=\frac{CM*AB}{2}\RightarrowCM=\frac{AC*BC}{AB}=\frac{20*15}{25}=4*3=12$
CM perpendicular pe AB, atunci stim ca triunghiul CMB este dreptunghic cu
$\widehat{CMB}=90$ catetele sunt CM,MB, si ipotenuza este BC. Aflam acum cat este MB tot din teorema lui Pitagora
$MB^{2}=BC^{2}-CM^{2}=15^{2}-12^{2}=225-144=81\Rightarrow MB=9$

Atunci stim ca:$AN=AB-MN-MB=AB-CD-MB=25-11-9=5$
Triunghiul DNA este dreptunghic, deoarece DN perpendicular pe AB cu
$\widehat{DNA}=90$ si catetele DN,AN si ipotenuza AD
stim ca DN=CM=12
Aplicam din nou teorema lui Pitagora
$AD^{2}=AN^{2}+DN^{2}=5^{2}+12^{2}=25-144=169\Rightarrow AD=13$

b) Formula generala pentru aria unui trapez este
$A='\frac{Baza mare+baza mica}{2}h$
Inlocuind cu termenii de la noi

$A_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}CM=\frac{25+11}{2}12=18*12=216$

c) Distanta de la D la AC sa notam intersectia cu P
folosindu-ne de formula ariei unui triunghi
$A_{\triangle}=\frac{baza*h}{2}$
pwntru triunghiul ADC, avem aria
$A_{ADC}=\frac{AC*DP}{2}$
Dar in acelasi timp vedem ca
$A_{ABCD}=A_{ADC}+A_{ABC}$
Ultima, poate fi calculata cu formula generala de am scris-o mai sus
$A_{ABC}=\frac{AC*BC}{2}=\frac{20*15}{2}=150$
Atunci
$A_{ADC}=A_{ABCD}-A_{ABC}=216-150=66$
Folosind formula de calcul a ariei de mai sus
$A_{ADC}=\frac{AC*DP}{2}=\frac{20DP}{2}=10DP=66\Rightarrow DP=6.6$