Question

ABCD trapez isoscel cu AB//CD,ACperpendicular BC si BACcongruent cu DAC,BCare32cm,calculați aria.Nu cu teorema lui Pitagora

Answer 1

ABCD - trapez isoscel ⇒ AD= BC = 32 cm

∡ BAC ≡ ∡ DAC     (1), rezulta ca
 
AC este bisectoarea unghiului DAB, deci
 
m(∡ CAB) =m(∡DAB)/2   (1) 

In trapezul isoscel ABCD, unghiurile alaturate bazei   AB sunt congruente, adica:

 m(∡DAB) = m(∡ABC)   (2)

Din relatiile (1), (2) ⇒ m(∡ CAB) =m(∡ABC)/2 ⇒ triunghiul BCA este de forma 

(30°, 60°, 90°),  m(∡CAB)= 30°.

Aplicam teorema unghiului de 30° si avem:

AB = 2· BC ⇒ AB = 2· 32 ⇒ AB = 64 cm

Observam ca ∡CAB ≡ ∡ ACD (alterne interne)   (3)

Din relatiile (1), (3) ⇒ ∡DAC ≡ ∡ ACD ⇒ Δ DAC - isoscel,

CD = AD = 32 cm

In acest moment, noi cunoastem lungimile celor 4 laturi

ale trapezului ABCD.

Pentru a afla aria, este necesar sa determinam inaltimea trapezului.

Ducem inaltimile DE si CF si determinam FB = 16 cm, AF = 48 cm.

Se observa ca CF este inaltime in triunghiul dreptunghic BCA, unde vom aplica teorema inaltimii:

CF² =  AF·FB ⇒ CF² = 48·16 ⇒ CF² = 3·16·16 ⇒ CF = √(3·16·16) =4·4√3

Deci, CF = 16√3 cm.

Aria trapezului este:

$\mathcal{A} = \dfrac{AB\cdot CD}{2} \cdot CF = \dfrac{64+32}{2}\cdot 16\sqrt3 = 48\cdot16\sqrt3 =768\sqrt3 \ cm^2$